Frase é todo enunciado capaz de transmitir mensagens em um contexto de comunicação. Não necessariamente este enunciado terá um verbo.
Orações são enunciados linguísticos caracterizados, agora sim, pela presença de um verbo. De fato, são unidades sintáticas. E, sintaticamente falando, caracterizam-se pela presença de um predicado, introduzido por um verbo. Pode-se dizer que orações são quaisquer frases que possuam verbo.
Períodos compostos podem conter orações coordenadas ou subordinadas, a depender do sentido que estabelecem entre si. Alguns exemplos:
A menina comprou chocolate (Período simples)
Saímos de manhã e voltamos à noite.(Período composto por coordenação)
Não foi à aula porque estava doente. (Período composto por subordinação)
Fui à escola e busquei minha irmão que estava esperando. (Período composto por coordenação e subordinação).